Analisi Matematica 1 e 2 di Giuseppe Anichini e di Giuseppe Conti. Appunti dettati a lezione.
Obiettivi Formativi
Conoscenza e capacità di comprensione
– Comprensione del concetto di funzione, in particolare di funzione continua, e il concetto di comportamento asintotico e di limite.
– Conoscenza della definizione di derivata e integrale.
– Conoscenza dei concetti di base della probabilità e della statistica.
– Conoscenza di base di alcuni programmi per lo studio di funzioni e per l'analisi di dati.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
– Capacità di descrivere il comportamento qualitativo delle funzioni elementari e di calcolarne derivata e integrale.
– Saper analizzare una popolazione statistica, per esempio calcolandone media e deviazione standard.
Metodi Didattici
Lezione frontale
Modalità di verifica apprendimento
La prova finale consiste in un esame scritto volto ad accertare le conoscenze della materia. Sono previste 2 prove scritte in itinere che sostituiscono lo scritto finale: in tal caso, il voto dell’esame finale risulterà una media aritmetica dei voti ottenuti ai tre test intermedi.
Le prove intermedie consistono di test a riposta aperta ( con risposte motivate), costituito da 5 domande in 2 ore. I test intermedi si svolgeranno a Novembre e a Dicembre. A Gennaio inizieranno le prove scritte.
L’esame orale è obbligatorio per tutti.
Programma del corso
Teoria intuitiva degli insiemi. Introduzione alla probabilità discreta: eventi. Distribuzioni
di probabilità. Frequenze relative. Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità dell'unione di eventi, probabilità dell'evento complementare. Eventi indipendenti. Estrazione con o senza reinserimento. Probabilità condizionata. Principio base del calcolo combinatorio. Disposizioni con o senza ripetizione. Medie.
Permutazioni. Fattoriale di un numero. Combinazioni con o senza ripetizione. Coefficiente binomiale.Binomio di Newton. Permutazioni con ripetizione. Distribuzione binomiale.
Funzioni. Dominio e codominio. Immagine e controimmagine. Funzione identità,
funzione costante. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Restrizione di una funzione. Funzione inversa. Composizione di funzioni. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari. Indici centrali e indici di dispersione. Le funzioni lineari e le funzioni quadratiche.
Le funzioni razionali fratte. Funzioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche. Funzioni periodiche. Definizione di radiante. Seno e coseno di un angolo: proprietà.
Tangente e cotangente. Formule goniometriche. Funzioni goniometriche inverse. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari. Il valore assoluto di un numero. Equazioni e disequazioni con valore assoluto. Disuguaglianza triangolare.
Interno e frontiera di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi chiusi e aperti. Intorno circolare. Intorno destro e sinistro. Definizione formale di limite. Limite destro e limite sinistro. Teorema della permanenza del segno e teorema inverso. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Calcolo limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi e principio di
sostituzione.
Il problema della tangente. Il rapporto incrementale. La derivata. La derivabilità implica la continuità ma non vale il viceversa (con dimostrazione). Derivata sinistra e destra. Derivata delle
funzioni elementari. Derivata della somma, prodotto, quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. (senza dimostrazione).
Retta tangente in un punto.Asintoti obliqui. Derivata delle funzioni goniometriche inverse. Punti di non derivabilità. Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy . Teorema de l'Hospital. Massimi e minimi relativi e assoluti, concavità e convessità. Punti di flesso. Studio di funzione.
Primitive di una funzione e loro caratterizzazione. Integrale indefinito. Funzione
integrabile in un intervallo: le funzioni continue sono integrabili (senza dim). Integrali immediati e quasi immediati. Integrazione delle funzioni razionali fratte.
Integrazione per parti. Integrali di radici quadrate e di funzioni trigonometriche. Problema delle aree. Partizione di un intervallo. Plurirettangoli. Somme inferiori e somme superiori. Funzione integrabile in un intervallo e definizione di integrale definito. Proprietà. Integrazione per sostituzione. Integrabilità delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. (tutti con dim.)
Equazioni differenziali del 1° e 2° ordine o a variabili separabili.